Vào ngày 19 tháng 01, tại Phòng F.102, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG-HCM, Nghiên cứu sinh Trần Thiện Khải đã bảo vệ thành công luận án tiến sĩ với đề tài “Áp dụng của tính khả vi suy rộng trong một số dạng bài toán tối ưu hóa”.

Luận án được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Thanh Tùng và PGS.TS. Nguyễn Lê Hoàng Anh, thuộc ngành Toán ứng dụng. Đề tài nghiên cứu tập trung vào ba nội dung chính, gồm: đối ngẫu của bài toán tối ưu đa trị với ràng buộc hỗn hợp sử dụng trên đạo hàm tiếp tuyến cấp cao, đối ngẫu Lagrange và điều kiện tối ưu điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu đa mục tiêu nửa vô hạn với ràng buộc biến mất, và điều kiện cần và đủ cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu.

Nội Dung Và Kết Quả Nghiên Cứu

Luận án đã đưa ra một số kết quả mới đáng chú ý, bao gồm:

• Khảo sát các tính chất của tập tiếp tuyến cấp cao, cùng với việc phát triển khái niệm về đạo hàm tiếp tuyến cấp cao của ánh xạ đa trị.
• Phát biểu bài toán đối ngẫu dạng tổng quát, đối ngẫu dạng Wolfe và Mond-Weir cho bài toán tối ưu với các ràng buộc hỗn hợp. Nghiên cứu này đã cung cấp một số điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu theo nghĩa Benson và mối quan hệ giữa bài toán gốc và các bài toán đối ngẫu.
• Thiết lập hai mô hình đối ngẫu Lagrange dưới dạng vectơ và vô hướng hóa cho bài toán tối ưu đa mục tiêu nửa vô hạn với ràng buộc biến mất, từ đó tìm ra các mối quan hệ đối ngẫu mạnh và yếu giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu.
• Nghiên cứu các mối quan hệ giữa tính đối ngẫu mạnh và điều kiện tối ưu điểm yên ngựa cho từng mô hình bài toán cụ thể.
• Thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc biến mất thông qua các định tính ràng buộc cấp hai phù hợp.

Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo

Để mở rộng phạm vi nghiên cứu, các vấn đề tiếp theo sẽ được tập trung vào việc khảo sát những tính chất khác của đạo hàm tiếp tuyến cấp cao của ánh xạ đa trị, cũng như các phép toán liên quan đến loại đạo hàm suy rộng này. Việc nghiên cứu điều kiện tối ưu và đối ngẫu Lagrange cho bài toán tối ưu đa mục tiêu nửa vô hạn với ràng buộc biến mất, sử dụng trên đồ thị của các hàm liên hợp, cũng sẽ được tiếp tục.

Bên cạnh đó, điều kiện cần và đủ cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc biến mất cho nghiệm chặt cấp hai cũng hứa hẹn mang lại những khám phá thú vị. Các kết quả trong luận án có thể được khái quát hóa cho nhiều loại bài toán tối ưu khác nhau, như bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc biến mất hoặc bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc cân bằng.

Buổi bảo vệ luận án không chỉ là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp nghiên cứu của Nghiên cứu sinh Trần Thiện Khải mà còn góp phần làm phong phú thêm lĩnh vực Toán ứng dụng tại Việt Nam.