Ngày 30/11, tại Trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG-HCM, NCS. Nguyễn Cảnh Hùng đã bảo vệ thành công luận án tiến sĩ với đề tài: “Sự tồn tại nghiệm và đối ngẫu cho một số lớp bài toán tối ưu không trơn” dưới sự hướng dẫn của TS. Thái Doãn Chương và PGS.TS. Nguyễn Lê Hoàng Anh.
Luận án đi sâu nghiên cứu không gian Euclid n chiều, vận dụng kết hợp các công cụ của giải tích biến phân cùng những phương pháp tiếp cận mới từ hình học nửa đại số. Mục tiêu trọng tâm của công trình là thiết lập cơ sở lý thuyết về sự tồn tại nghiệm tối ưu, các tính chất của tập nghiệm, đồng thời xây dựng hệ thống điều kiện tối ưu cho lớp bài toán tối ưu và tối ưu vững trong trường hợp hàm mục tiêu không trơn và không lồi.
Về mặt học thuật, công trình đóng góp những phát hiện mới quan trọng khi giải quyết bài toán tối ưu vững – một lớp bài toán có ý nghĩa lớn trong thực tiễn nhưng đầy thách thức. Đáng chú ý, tác giả đã đề xuất khái niệm “đa tạp tiếp xúc suy rộng tại vô hạn”, tạo ra một hướng tiếp cận hiệu quả để khảo sát tính bị chặn dưới của giá trị infimum. Trên cơ sở đó, luận án đã chứng minh sự tương đương giữa các tính chất ổn định then chốt gồm tính M-tame vững, tính riêng vững và điều kiện Palais–Smale vững, từ đó suy ra các kết quả mới về sự tồn tại nghiệm.
Song song với việc khảo sát nghiệm, luận án cũng hoàn thiện bức tranh lý thuyết thông qua việc xây dựng bài toán đối ngẫu. Tác giả đã làm sáng tỏ mối quan hệ chặt chẽ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu thông qua các kết quả về đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh và đối ngẫu ngược. Đối với bài toán có ràng buộc hàm và tập, các điều kiện tối ưu cần và đủ cũng được thiết lập chặt chẽ dựa trên khái niệm lồi suy rộng.
Kết quả của luận án được Hội đồng đánh giá cao về tính cấp thiết và khả năng ứng dụng. Việc thiết lập thành công các điều kiện tối ưu và phân tích sự tồn tại nghiệm đóng vai trò nền tảng trong việc mô hình hóa và giải quyết các bài toán thực tế phức tạp. Đồng thời, các phương pháp được phát triển trong luận án cũng mở ra hướng nghiên cứu tiềm năng cho các lĩnh vực liên quan như giải tích tiệm cận, tối ưu đa mục tiêu hoặc việc phát triển các biến thể dưới vi phân mới trong tương lai.
