Sáng ngày 24/01, tại Trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG-HCM, nghiên cứu sinh Nguyễn Duy Ái Nhân (ngành Đại số và Lý thuyết số) đã bảo vệ luận án tiến sĩ cấp cơ sở đào tạo với đề tài “Hàm khoảng cách lượng tử, phương trình ma trận phi tuyến và một số vấn đề liên quan”, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Đinh Trung Hòa và TS. Nguyễn Anh Thi.
Luận án tập trung nghiên cứu các vấn đề lý thuyết trong lĩnh vực toán học hiện đại, đặc biệt là các khái niệm liên quan đến khoảng cách lượng tử, phương trình ma trận phi tuyến và lý thuyết trung bình ma trận. Đây là những hướng nghiên cứu có ý nghĩa nền tảng trong lý thuyết toán tử và toán học lượng tử. Một trong những nội dung chính của luận án là việc xây dựng một hàm khoảng cách lượng tử mới dạng Hellinger. Trên cơ sở xác định cấu trúc của hàm này, nghiên cứu sinh đã chứng minh các tính chất toán học quan trọng, bao gồm tính chất điểm giữa, bất đẳng thức xử lý dữ liệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán tổng bình phương bé nhất tương ứng. Những kết quả này góp phần bổ sung hệ thống các công cụ toán học dùng để mô tả và phân tích khoảng cách giữa các trạng thái lượng tử.
Bên cạnh đó, luận án mở rộng hai dạng phương trình ma trận phi tuyến từ trường hợp trung bình nhân có trọng số sang các trung bình có trọng số tương ứng với trung bình Kubo-Ando đối xứng bất kỳ. Trong khuôn khổ nghiên cứu này, nghiên cứu sinh đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình ma trận phi tuyến với các điều kiện tổng quát, trong đó các ma trận tham gia là các ma trận khả nghịch và các tham số thỏa mãn những giả thiết phù hợp.
Luận án cũng dành một phần quan trọng để nghiên cứu các hệ phương trình ma trận phi tuyến liên quan đến trung bình Wasserstein. Thông qua việc biểu diễn trung bình Wasserstein dưới dạng trung bình nhân có trọng số 2 và khai thác mối liên hệ giữa trung bình Wasserstein với trung bình cộng, nghiên cứu sinh đã thiết lập và chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số hệ phương trình ma trận phi tuyến. Đây là nhóm kết quả có ý nghĩa về mặt lý thuyết, do trung bình Wasserstein không thuộc lớp các trung bình ma trận Kubo-Ando, đòi hỏi những phương pháp tiếp cận phù hợp.
Các kết quả đạt được trong luận án góp phần làm rõ mối liên hệ giữa các dạng trung bình ma trận khác nhau, đồng thời mở ra khả năng xây dựng các hàm khoảng cách lượng tử mới dựa trên các mối quan hệ đó. Về mặt khoa học, nghiên cứu cung cấp thêm cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu các hàm đơn điệu toán tử và các bài toán liên quan đến phương trình ma trận phi tuyến.
Các thành viên Hội đồng đặt câu hỏi phản biện và thảo luận