Sáng ngày 19 tháng 01, tại phòng F102, trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG-HCM, Nghiên cứu sinh (NCS) Lưu Xuân Thắng đã bảo vệ thành công luận án tiến sĩ với đề tài “Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với hệ số bị nhiễu”. Luận án được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Đặng Đức Trọng, thuộc ngành Toán ứng dụng.
Luận án khảo sát bài toán Cauchy cho phương trình elliptic trong trường hợp hệ số bị nhiễu và dữ liệu đầu vào không chính xác. Các yếu tố này khiến bài toán trở nên không chỉnh và đòi hỏi áp dụng các phương pháp chỉnh hóa để tìm nghiệm ổn định.
Luận án tập trung khảo sát các vấn đề sau đây:
- Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán khi xét trong không gian phù hợp.
- Lựa chọn phương pháp chỉnh hóa phù hợp và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm chính xác của bài toán.
Dựa vào các công cụ của giải tích thực, phương trình đạo hàm riêng và bài toán ngược, Luận án đã:
- Sử dụng biến đổi Liouville để đưa bài toán từ hệ số biến về bài toán hệ số hằng.
- Lần lượt sử dụng các không gian phù hợp để khảo sát sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán.
- Sử dụng các phương pháp hàm lọc và chặt cụt Fourier đưa ra nghiệm chỉnh hóa. Sau đó, sử dụng các ước lượng để khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm chính xác.
- Cuối cùng, đưa ra ví dụ và kết quả số để minh họa kết quả lý thuyết.
Ứng dụng và hướng nghiên cứu tiếp theo:
Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với hệ số hằng có ứng dụng nhiều trong thực tế thuộc các lĩnh vực như vật lý địa cầu, cơ học chất lỏng, chẩn đoán tim mạch, trường điện sinh và kiểm định không xâm lấn. Hơn nữa, khi khảo sát bài toán này với hệ số chứa biến và có nhiễu, kỹ thuật sử dụng có thể áp dụng cho một số lớp bài toán mở rộng từ hệ số hằng sang hệ số chứa biến.
Một số vấn đề của bài toán có thể được khảo sát trong thời gian tới:
- Khảo sát bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng đạo hàm bậc phân thứ.
- Khảo sát bài toán tương tự cho phương trình sóng và sóng bậc phân thứ.
Hình ảnh buổi cáo cáo Luận án: 19.01.2025 Báo cáo LVTS
Minh Tâm
Leave a Reply
You must be logged in để gửi bình luận.