Sáng ngày 05/10, tại Trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG-HCM, Nghiên cứu sinh Quách Văn Chương đã bảo vệ luận án tiến sĩ cấp cơ sở đào tạo với đề tài: “Tính chất định tính của một số lớp phương trình đạo hàm riêng với số mũ biến”, ngành Toán Giải tích. Luận án được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Xuân Trường và PGS.TS. Lý Kim Hà, thuộc khóa đào tạo 2022–2025.

Luận án tập trung nghiên cứu các tính chất tồn tại toàn cục và không tồn tại toàn cục của nghiệm yếu đối với một số lớp phương trình đạo hàm riêng có số mũ biến. Nghiên cứu sinh đã vận dụng phương pháp potential well kết hợp với đa tạp Nehari để phân tích hành vi của nghiệm trong hai trường hợp: khi nghiệm tồn tại toàn cục, luận án khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu khi thời gian tiến ra vô cùng; còn khi nghiệm không tồn tại toàn cục, luận án đưa ra các đánh giá cho thời gian tồn tại cực đại của nghiệm. Khó khăn chính của hướng nghiên cứu này đến từ sự xuất hiện của số mũ biến, khiến cho tính chất thuần nhất bị phá vỡ và dẫn đến sự khác biệt giữa chuẩn và tích phân trong các không gian có số mũ biến.

Với từng lớp bài toán được xét, nghiên cứu sinh đã đạt được các kết quả như chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục và xác định tính chất tắt dần của nghiệm yếu khi thời gian tiến ra vô cùng; đồng thời làm rõ tính chất không tồn tại toàn cục của nghiệm yếu và đưa ra các đánh giá cho thời gian tồn tại cực đại của nghiệm. Các kết quả này góp phần bổ sung cơ sở lý thuyết cho lĩnh vực Toán Giải tích trong nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng với số mũ biến.

 

Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp cơ sở đào tạo trao đổi, nhận xét và đặt câu hỏi chuyên môn với NCS. Quách Văn Chương trong buổi bảo vệ.

Luận án là một đóng góp mới trong việc hiểu rõ hơn tính chất của nghiệm yếu đối với các phương trình đạo hàm riêng với số mũ biến. Tuy nhiên, thời điểm “bùng nổ” của nghiệm yếu trong trường hợp không tồn tại toàn cục mới chỉ được ước lượng cận trên. Trong tương lai, nghiên cứu có thể được mở rộng theo hướng xác định cận dưới, cải tiến cận trên và phân tích tốc độ bùng nổ của nghiệm, cũng như mở rộng bài toán từ (p(x)) sang (p(x,t)) để tiếp cận các mô hình phức tạp hơn.

Hội đồng đánh giá luận án có tính mới, không trùng lặp với các đề tài trước đây. Các kết quả nghiên cứu đã được công bố trên bốn tạp chí quốc tế uy tín, thể hiện tính nghiêm túc, trung thực và giá trị học thuật của công trình.

PMN